MAKALAH GEOMETRI
BIDANG
PARABOLA
Makalah ini diajukan untuk melengkapi tugas mata kuliah geometri bidang
Makalah ini diajukan untuk melengkapi tugas mata kuliah geometri bidang
Disusun oleh :
KELOMPOK 10
SERLIN AGUSTIA
(1502030137)
SILVIA RAMADHANI (1502030018)
MANAF HUSEIN (1502030143)
ELPA RIANTI ROMAULI SARAGI (1502030036)
SILVIA RAMADHANI (1502030018)
MANAF HUSEIN (1502030143)
ELPA RIANTI ROMAULI SARAGI (1502030036)
UNIVERSITAS
MUHAMMADIYAH SUMATRA UTARA
Tahun Ajaran 2015-2016
Tahun Ajaran 2015-2016
KATA PENGANTAR
Puji syukur atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang
telah melimpahkan rahmat dan hidayahNya sehingga kami dapat menyelesaikan
tugas yang dibuat berdasarkan hasil
rangkuman dari berbagai buku yang telah dibaca dan beberapa sumber dari
internet. Laporan ini disusun dengan maksud untuk dapat dijadikan pedoman
tambahan bagi yang membaca laporan ini. Semoga dapat bermanfaat untuk menambah
wawasan pengetahuan kita tentang
Parabola.
Namun kami menyadari bahwa hasil yang sederhana ini masih
banyak kekurangaan. Kritik dan saran dari semua pembaca yang sifatnya
konstruktif sangatlah kami hargai dan butuhkan, guna kesempurnaan laporan ini.
Kami juga mohon maaf apabila laporan ini terlalu sederhana dan banyak kesalahan
dalam menyampaikannya. Akhirnya kami sebagai penulis berharap semoga laporan
ini dapat bermanfaat bagi kita semua untuk menambah sedikit pengetahuan yang
kita miliki.
Medan, 5 April 2016
Penulis
DAFTAR ISI
COVER
...................................................................................................... 1
KATA PENGANTAR............................................................................. 2
DAFTAR ISI............................................................................................
3
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang...................................................................................
4
1.2. Rumusan Masalah..............................................................................
4
1.3. Tujuan Penulisan.................................................................................
4
BAB II PEMBAHASAN
2.1.Definisi Parabola.................................................................................
5
2.2.
Persamaan Umum
Parabola................................................................
6
2.3.
Garis Singgung
Pada Parabola...........................................................
14
BAB III PENUTUP
3.1. Kesimpulan........................................................................................
29
3.2. Saran..................................................................................................
31
DAFTAR PUSTAKA
BAB I
PENDAHULUAN
1.1.
Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering diperhadapkan
kepada banyak masalah yang berhubungan dengan geometri yang berhubungan dengan
titik, garis dan bidang-bidang. Sangat diperlukan pemahaman terhadap hal hal
yang berhubungan dengan geometri agar dengan itu kita dapat menghadapi berbagai
persoalan yang kita hadapi.
Dalam makalah ini kami akan membahas beberapa materi yang
berhubungan dengan geometri. Materi yang kami bahas adalah materi tentang
parabola.
Untuk lebih mengenal lagi bagaimana geometri itu itu dan
mateeri yang kami bahas, maka mari kita bersama-sama melihat makalah ini dan
mencoba memahaminya.
1.2. Rumusan
Masalah
1.
Apa
yang dimaksud dengan parabola?
2.
Bagaimana
persamaan umumpada parabola ?
3.
Bagaimana
persamaan garis singgung pada parabola?
1.3. Tujuan
Penulisan
Adapun
tujuan menyusun makalah ini adalah:
1.
Untuk
mengetahui dan menentukan persamaan umum parabola.
2.
Untuk
mengetahui bagaimana cara menentukan persamaan garis singgung parabola.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 DEFINISI
PARABOLA
A T1
L
(Gambar
2.1)
P x
Q F
T2
L1 B
Pada gambar 2.1 menunjukkan sebuah parabola yang memiliki
titik puncak di sumbu X, yaitu titik P. Pada gambar tampak bahwa PQ = PF, F
disebut titik fokus, LL1
disebut lactus rectum, T1T2
disebut tali busur fokal, FB disebut jari-jari fokal, dan I disebut direktriks (garis arah). Pada gambar
tersebut tampak juga jarak titik T1 ke A sama dengan jarak titik T1
ke F.
2.2 PERSAMAAN
UMUM PARABOLA
1.
Persamaan parabola di titik pusat P(0,0)
Q (-p,y)
P (x,y)
F (p,0)
O
x = -p
Gambar di
atas tampak sebuah parabola yang terletak pada titik
pusat (0,0)
Perhatikan PF = PQ
Maka :
(x – x1)2 + (y –y1)2
= (x – x1)2
+ (y –y1)2
(p –x) 2 + (y –y1)2 = (p –x) 2 + (y –y1)2
(p – x)2 + ( 0 – y )2 = (p – x)2 +(y –y)2
(p – x)2 + y = (p – x)2 + 0
p2 - 2px + x2 + y2 = p2 - 2px + x2
y2 = 4px
(p –x) 2 + (y –y1)2 = (p –x) 2 + (y –y1)2
(p – x)2 + ( 0 – y )2 = (p – x)2 +(y –y)2
(p – x)2 + y = (p – x)2 + 0
p2 - 2px + x2 + y2 = p2 - 2px + x2
y2 = 4px
Dengan
pendekatan yang sama maka di peroleh :
Fokus
|
Direktris
|
Sb.
Simetri
|
LR
|
Persamaan
|
Keterangan
|
(p,
0)
|
x
= -p
|
Sumbu
y
|
4p
|
y2 = 4px
|
Terbuka
kekanan
|
(-p,
0)
|
x
= p
|
Sumbu
y
|
4p
|
y2 = -4px
|
Terbuka
kekiri
|
(0,
p)
|
y
= -p
|
Sumbu
x
|
4p
|
x2 = 4py
|
Terbuka
keatas
|
(0,
-p)
|
y
= p
|
Sumbu
x
|
4p
|
x2 = -4py
|
Terbuka
kebawah
|
Dengan
grafik parabola sebagai berikut :
1.
Gambarlah
grafik dari parabola
!
Penyelesaian
:
Koordinat
puncaknya O (0,0)
Y2 = 4px
Y2 = 8x
p
= 2
ü Titik F(2,0)
Persamaan
direktriks g = x = -p = -2
Sumbu
simetrinya y = 0
2. Tentukan persamaan parabola , titik focus,
direktriks , serta lotus rectum dari
parabola
y2
= 16 x
Penyelesaian :
y2 = 4px
y2 = 16x
4px = 16x
4p = 16
P = 4
Titik Fokus (4,0)
Directriks x = -p = -4
Lotus rectum : 4p = 4.4 = 16
Penyelesaian :
Persamaan parabola : y2 =- 4px
= - 4(-2)x = 8x
Grafik :
F (-2,0) 0 X
4. Tentukan Persamaan parabola dan grafik jika
puncaknya (0,0) dan directriksnya y = 3
Fokus F (0,-3)
Persamaan parabola : x2 = -
4py = - 4(-3)y
2. Persamaan parabola di titik
pusat P(a,b)
y
= b
L2
Dari gambar di atas dapat diketahui bahwa puncak
p(a,b) dan fokus pada sumbu y di titik
(a + p,b). Persamaan direktriknya adalah x = a – p. Titik parabolanya B (x, y)
Karena
│ AB│=
│BF│=
Maka
titik akan terletak di parabola, jika dan hanya jika :
(x – a + p)2 +
=
Sederhanakan
x2
– 2ax + 2px + a2 – 2ap + p2 + 0 = x2 – 2ax –
2px + 2ap + a2 + p2 +
4p
(x – a) =
Dengan
pendekatan yang sama dapat di simpulkan :
Fokus
|
Direktris
|
Sb. Simetri
|
LR
|
Persamaan
|
Keterangan
|
(a+p, b)
|
x = -p+a
|
Y = b
|
4p
|
(y
– b)2 = 4p (x – a)
|
Terbuka kekanan
|
(a-p, b)
|
x = p+a
|
Y = b
|
4p
|
(y
– b)2 = -4p (x – a)
|
Terbuka kekiri
|
(a, b+p)
|
y = -p+b
|
X = a
|
4p
|
(x
– a)2 = 4p (y – b)
|
Terbuka keatas
|
(a, b-p)
|
y = p+b
|
X = a
|
4p
|
(x
– a)2 = -4p (y –b)
|
Terbuka kebawah
|
Dengan grafik
sebagai berikut
P (a,b) F( a+p, b) Y = b Y = b F(a – p, b) p (a,b)
X
X = a
– p (y – b)2 = 4p (x –a)
P(a, b)
(x
– a)2 = -4p (y – b)
Contoh soal
1. Tentukam puncak, focus, direktriks
parabola (y – 3)2 = 12 (x + 2) dan buatlah sketsa grafiknya .
Penyelesaian :
a = -2; b = 3 ; p= 3
puncak (-2,3)
fokus
(a+p , b ) = ( 1 , 3)
direktris x = a - p
0 x
x = -5
2.
Tentukan
puncak fokus direktris dari parabola (y – 2)2 = 12 (x – 8)
Penyelesaian :
(y – 2)2
= 12 (x – 8)
(y –b )2 =
4 – p (x – a)
(y – 2 )2
= 4 – 3 (x – 8)
b = 2 ,
a = 8 , p = 3
Puncak : (a , b)
(8 , 2)
fokus : F
(a + p, b)
(11 , 2)
Direktris : (a- p)
5
3.
Tentukan puncak dan fokus dari parabola
y = x2 – 4x + 5
Penyelesaiaan :
Y = x2
– 4x + 5
Y = (x – 2)2
– 4 + 5
(x – 2)2
= y -1
(x – 2)2
= 1 (y – 1)
a = 2, b = 1, p =
puncak : P (2 ,
1)
Fokus : F = ( 0 + a , p + p) = (0 +2.
+
1)
F = (2, 1
)
4.
Gambarlah grafik dari parabola (x + 1)2
= -4 (y – 5)
Penyelesaian :
(x + 1)2
= -4 (y – 5)
(x – a)2
= -4p (y – b)
a = -1 b = 5
p = 1
Puncak :(-1 , 5)
Fokus : ( a ,
b-p) = (-1 , 4)
y = 1 + 5 = 6
F
(-1 , 4)
X
2.3 GARIS
SINGGUNG PADA PARABOLA
A. Persamaan
Garis Singgung dengan Gradien m pada
Parabola
1. Parabola
dengan puncak (0,0)
Syarat
garis menyinggung parabola adalah D = 0. Sehingga dari persamaan
Substitusi
ke rumus diskriminan:
Jadi
persamaan garis singgung pada parabola
adalah:
|
Ingat
:
Ø Jika D < 0, garis g tidak memotong parabola
Ø Jika D > 0, garis g memotong parabola
Ø Jika D = 0, garis g menyinggung
parabola
|
Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan
garis singgung parabola dengan gradient m seperti tabel berikut ini:
No
|
Persamaan Parabola
|
Persamaan Garis Singgung
|
1
|
||
2
|
||
3
|
||
4
|
Contoh
soal :
1. Carilah persamaan garis singgung dengan gradien 2,
terhadap parabola y2 = 16 x
penyelesaaian
:
y2
= 16 x
y2
= 4 p x
16
x = 4 p x
p
= 16/4
p
= 4
y
= m x +
= 2
x +
y
= 2 x + 2
2. Carilah persamaan titik singgung dengan gradien
2 , terhadap parabola y2 = 8 x
penyelesaiaan
:
y2 = 8 x
y = m x +
= 2 x +
y = 2 x + 1
Titik singgung nya :
y2 = 8 x
(2 x + 1)2 = 8 x
4 x2+4 x +1 =8 x
4 x2 + 4 x -8 x +1 = 0
4 x2 – 4 x + 1 = 0
(2 x – 1)2 = 0
x = 0 , x =
x =
2 x + 1
y = 2 x + 1
= 2 (
) + 1
=
+ 1
= 2
Jadi titik singgung
parabola y2 = 8 x adalah
(
, 2 )
3. Tentukan
persamaan garis singgung dengan grdien 4 terhadap parabola x2 = 16 y
Penyelesaian :
x2 = 4py
x2 = 16 y
16 y = 4 py
p =
p = 4
y = m x – p m2
y
= 4 x – 4.42
y
= 4 x – 64
4. Carilah
persamaan garis singgung dengan gradien 2 , terhadap parabola y2 = 24 x
Penyelesaian :
y2 = 20x
y2 = 4 p x
24 x = 4 p x
p = 24 / 4
p = 6
y = m x +
y = 4x +
y = 4 x + 3
2. Parabola
dengan Puncak (a,b)
Untuk
parabola dengan bentuk umum
. Dengan garis
singgung
dapat kita
peroleh persamaan garis singgungnya dengan mensubstitusikan
ke dalam persamaan parabola.
Subtitusi
Syarat garis yang
menyinggung parabola adalah D = 0
Jadi persamaan
garis singgung parabola
diperoleh dengan cara mensubtitusikan nilai
pada
.
Untuk p dengan bentuk umum
dengan garis singgung
dapat diperoleh garis singgungnya dengan
mensubtitusikan garis
ke dalam persamaan parabola.
Syarat garis yang
menyinggung parabola adalah D = 0
Subtitusi nilai n
pada persamaan
Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan
garis singgung parabola dengan gradien m seperti tabel berikut ini:
No
|
Persamaan Parabola
|
Persamaan Garis Singgung
|
1
|
||
2
|
||
3
|
||
4
|
v
Contoh Soal
1.Tentukan
garis singgung parabola (y + 5)2 = -8 (x – 2) yang bergradien 2 !
Penyelesaian :
(y + 5)2 = -8 (x – 2)
(y – b ) = -4p (x – a)
a = 2 ; b = -5 ; p = 2
(y – b ) = -4p (x – a)
a = 2 ; b = -5 ; p = 2
Dengan rumus :
y – b = m (x – a) -
y + 5 = 2 (x – 2) -
y + 5 = 2x – 4 – 1
y = 2x – 10
2. Tentukan garis singgung parabola (x + 1)2
= -4 (y – 5) yang sejajar dengan garis y = 3x + 7
Penyelesaian :
y = 3x + 7
m
= 3
m1 = m2 = 3
karena sejajar .
(x + 1)2 = -4 (y – 5)
(x – a)2 = -4p (y – b)
a = -1 ; b = 5 ; p= 1
dengan rumus ;
(y – b) = m (x – a)
+ pm2
(y – 5) = 3 (x + 1) + 1.32
(y – 5) = 3x + 3 + 9
Y = 3x + 16
3. Tentukan garis singgung parabola 8x – y2
+ 4y + 8 = 0 yang tegak lurus terhapap y =
-x +15
Penyelesaian :
y = -x + 15
m1 = -1
m1.m2 = -1
m2
= 1
m1 = -1
m1.m2 = -1
8x- y2 + 4y + 8 = 0
y2 - 4y = - 8x - 8
(y – 2)2 - 4 = - 8x - 8
(y – 2)2 = - 8x - 8 + 4
(y – 2)2 = - 8x - 4
(y – 2)2 = - 8 (x + 1/2)
(y – b)2 = - 4p ( x – a)
a = - 1/2 ; b = 2 ; p = 2
y2 - 4y = - 8x - 8
(y – 2)2 - 4 = - 8x - 8
(y – 2)2 = - 8x - 8 + 4
(y – 2)2 = - 8x - 4
(y – 2)2 = - 8 (x + 1/2)
(y – b)2 = - 4p ( x – a)
a = - 1/2 ; b = 2 ; p = 2
Dengan rumus :
(y – b) = m
(x – a) -
(y – 2) = 1 (x + 1/2) -
y – 2 = x + 1/ 2 + 2
y = x + 4
B. Persamaan garis singgung pada parabola dengan
titik singgung (x1, y1)
1. Persamaan
garis singgung melalui titik (X1,Y1) di puncak (0 , 0)
yang
terletak pada parabola y² = -4px dapat dinyatakan sebagai berikut :
y – y1 = m ( x – x1 )
Dengan tafsiran geometri turunan , besar m dapat
dicari sebagai berikut
Jadi,
Dititik (x1,y1 ) : M = - 2P/ Y1
Dengan demikian garis singgung yang dimaksud adalah y1y
= -2p ( X + X1)
Nilai m = -2p/ y1
didistribusikan ke persamaan y – y1 = m ( x – x1)
diperoleh
y – y1 = - 2p/ y1 ( X – X1)
y1 ( y -y1 ) = -2px + 2px1
y1y – y12 = - 2px + 2px1
( ingat y12
= - 4px)
y1y –(- 4px ) = - 2px + 2px1
y1y +
4px = - 2px + 2px1
y1y = -2 px – 2 px 1
y1y = -2p ( x + x1)
Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan
garis singgung parabola seperti pada tabel dibawah ini:
No
|
Persamaan parabola
|
Persamaan garis singgung
|
1
|
y2 = 4px
|
y1 y =2p (x + x1)
|
2
|
y2 =
- 4px
|
y1 y =
- 2p (x + x1)
|
3
|
x2 = 4py
|
x1 x = 2p (y + y1 )
|
4
|
x2 = - 4py
|
x1 x = - 2p (y + y1 )
|
Contoh
Soal :
1.
Carilah persamaan garis singgung di titik (3 ,
9) pada parabola y2 = 12x
Penyelesaian :
X1 = 3
Y1 = 9
y2 = 12x
y2 = 4 px
4p = 12
p =
p =
3
persamaan garis singgungnya :
Y1.Y = 2 P (X + X1)
9 y
= 2(3) (x + 3)
9 y = 6 (x + 3)
9 y = 6x + 18
y =
y =
x + 2 atau
x – y + 2 = 0
2.
Carilah persamaan garis singgung di titik (2 , 4) pada parabola x2 = 8 y
Penyelesaian :
X1 = 2
Y1 = 4
X2 = 8y
X2
= 4 py
4p = 8
p = 2
X1 X = 2P (y + y1)
2x = 2 (2) (y + 4)
2x = 4 (y + 4)
2x = 4 y + 16
x = 2y + 8 atau x – 2y – 8 = 0
3.
Carilah persamaan garis singgung di titik (3 ,
6) pada oarabola y2 = -12 x
Penyelesaian :
X1 = 3
Y1 = 6
y2 = -12
y2
= -4 py
-4p = -12
-p = -
p = 3
y1 y = 2p (x + x1)
6y = 2 (-3) (x + 3)
6y = 6 (x + 3)
6y = 6x + 18
y =
y = x + 3
x – y + 3 = 0
4.
Carilah persamaan garis singgung di titik (-4 ,
8) pada parabola x2 = - 32y
Penyelesaian :
X1 = -4
Y1 = 8
x2 = -32
x2
= -4py
4p = -32
p = -
p
= -8
Persamaan garis singgung :
X1X = 2P (y + y1)
-4 x = 2 (-8) (y + 8)
-4x = -16 (y + 8)
-4x = -16y – 128
x =
x = 4y + 32
atau
-x + 4y + 32 = 0
2. Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1)
yang terletak pada titik (a,b)
yang terletak pada titik (y1 –
b)2 = 4p( x1 – a) adalah :
(y1 – b)2 =
4p( x1 – a)
y12 – 2by1 + b2 =
(4p (x1 – a)
y12 = 2by1 –b2 +
4px(x1 – a) .........(i)
Persamaan garis singgung melalui P (x1, y1)
adalah (y – y1) = m (x – x1)............(ii)
Gradien m ditentukan dengan cara sebagai berikut:
(y – b )2 = 4p ( x – a )
(x – a ) =
( y – b )
Jadi m di
titik P (x1, y1) =
………(iii)
Subtitusi (iii) ke (ii)
y – y1 =
m ( x – x1 )
y – y1
=
( x – x1 )
(y – y1
) ( y1 – b ) = 2p ( x – x1 )
Yy1
– by – y1 + by1 = 2p ( x – x1 ) ………. ( iv)
Subsitusi persamaan (i) ke persamaan ( iv)
Yy1- by – y12 + by1
= 2px – 2px1
Yy1- by – (2 by1 – b2 + 4p
( x1 – a ) 0 + by1
= 2px – 2px1
Yy1- by – by1 + b2 = 4 px1 – 4pa + 2px – 2px1
(y – b) (y1 – b) = 2px1 – 4ap + 2px
(y – b) (y1 - b ) = 2p (x + 1 – 2a )
Dengan pendekatan yang sama akan diperoleh persamaan
garis singgung parabola seperti tabel dibawah ini:
No
|
Persamaan parabola
|
Persamaan garis singgung
|
1
|
(y
– b)2 = 4p( x – a)
|
(y –
b) (y1 – b) = 2p (x +x1 - 2a)
|
2
|
(y – b)2 =
- 4p( x – a)
|
(y – b) (y1 –
b) = - 2p (x +x1 - 2a)
|
3
|
(x
– a)2 = 4p(y – b)
|
(x –
a)(x1 – a) = 2p ( y + y1 -2b)
|
4
|
(x – a)2 =
- 4p(y – b)
|
(x – a)(x1 –
a) = - 2p ( y + y1 -2b)
|
Contoh soal
:
1. Tentukan persamaan garis singgung parabola (y +
1)2 = 24 (x – 3) di titik (2,4) !
Penyeleaian :
(y – b)2 = 4p (x – a)
a = 3 ; b = -1 ; p = 6
a = 3 ; b = -1 ; p = 6
Dengan rumus :
(y – b)(y1 – b) = 2p (x + x1 – 2a)
(y + 1)(4 + 1) = 2.6 (x + 2 – 2.3)
(y + 1)(5) = 12 (x - 4)
5y + 5 = 12x - 48
5y = 12x – 53
(y – b)(y1 – b) = 2p (x + x1 – 2a)
(y + 1)(4 + 1) = 2.6 (x + 2 – 2.3)
(y + 1)(5) = 12 (x - 4)
5y + 5 = 12x - 48
5y = 12x – 53
2. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2
– 4y – 4 = 2x di titik (-2,3) !
Penyelesaia :
Y2 – 4y = 4 + 2x
(y – 2)2 - 4 = 2x + 4
(y – 2)2 = 2x + 8
(y – 2)2 = 2 (x + 4)
(y – b)2 = 4p (x – a)
a = - 4 ; b= 2; p =
(y – 2)2 - 4 = 2x + 4
(y – 2)2 = 2x + 8
(y – 2)2 = 2 (x + 4)
(y – b)2 = 4p (x – a)
a = - 4 ; b= 2; p =
Dengan rumus :
(y – b)(y1 – b) = 2p (x + x1 – 2a)
(y – 2) (3 – 2) = 2.
(x – 2 – 2.(-4)
(y – 2) (1) = 1 ( x – 2 + 8)
y – 2 = x + 6
y = x + 8
(y – b)(y1 – b) = 2p (x + x1 – 2a)
(y – 2) (3 – 2) = 2.
(y – 2) (1) = 1 ( x – 2 + 8)
y – 2 = x + 6
y = x + 8
3. Tentukan garis singgung parabola (x + 1)2
= -4 (y – 5) pada titik (3, 4)
Penyelesaian
:
(x – a)2
= -4p (y – b)
a = 1 , b= 5
, p = 1
(x – a) ( x1 – a) = -2p (y + y1
– 2b)
(x –
(-1)) (3 – (-1) = -2.1 (y + 4 – 2.(5))
(x +1) (3 + 1)
= -2 (y +4 – 10)
(x + 1)
(4) =
-2y – 8 + 20
4x + 4 = -2y -12
4x = -2y – 12 – 4
4x = -2y -16
2x
= -y – 8
4. Tentukan persamaan garis singgung parabola (y
+ 5)2 = -8 (x – 2) yang
bertitik (1 , 3)
Penyelesaian :
(y + 5)2
= -8 (x – 2)
(y – b)2
= -4p (x – a)
a = 2 , b =
-5 , p = 2
(y – b) (y1
– b) = -2 (x + x1 – 2a)
(y – b) (y –
b) = -2 (x + x1 – 2a)
(y + 5) (3 + 5) = -2 (x + 1 – 2.2)
(y + 5)
(8) = -2 (x – 3)
8y + 40 = -2x + 6
8y = -2x + 6 – 40
8y = -2x - 36
BAB
III
PENUTUP
3.1.
Kesimpulan
1. Suatu
parabola adalah himpunan (tempat kedudukan) titik, yang titik-titiknya memenuhi
syarat, bahwa jaraknya terhadap suatu titik tertentu sama dengan jaraknya
terhadap suatu garis tertentu. Dengan kata lain parabola adalah tempat
kedudukan titik-titik yang jaraknya sama terhadap suatu titik tertentu dan
garis tertentu.
2. Rumus
persamaan Parabola Umum
- Persamaan parabola dengan titik pusat (0,0)
- Persamaan parabola dengan titik pusat (0,0)
Fokus
|
Direktris
|
Sb.
Simetri
|
LR
|
Persamaan
|
Keterangan
|
(p,
0)
|
x
= -p
|
Sumbu
y
|
4p
|
y2 = 4px
|
Terbuka
kekanan
|
(-p,
0)
|
x
= p
|
Sumbu
y
|
4p
|
y2 = -4px
|
Terbuka
kekiri
|
(0,
p)
|
y
= -p
|
Sumbu
x
|
4p
|
x2 = 4py
|
Terbuka
keatas
|
(0,
-p)
|
y
= p
|
Sumbux
|
4p
|
x2 = -4py
|
Terbuka
kebawah
|
- Persamaan parabola dengan titik pusat (a,b)
Fokus
|
Direktris
|
Sb. Simetri
|
LR
|
Persamaan
|
Keterangan
|
(a+p, b)
|
x = -p+a
|
Y = b
|
4p
|
(y
– b)2 = 4p (x – a)
|
Terbuka kekanan
|
(a-p, b)
|
x = p+a
|
Y = b
|
4p
|
(y
– b)2 = -4p (x – a)
|
Terbuka kekiri
|
(a, b+p)
|
y = -p+b
|
X = a
|
4p
|
(x
– a)2 = 4p (y – b)
|
Terbuka keatas
|
(a, b-p)
|
y = p+b
|
X = a
|
4p
|
(x
– a)2 = -4p (y –b)
|
Terbuka kebawah
|
3. Rumus persamaan garis singgung
- Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m pada Parabola
Parabola dengan puncak (0,0)
- Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m pada Parabola
Parabola dengan puncak (0,0)
No
|
Persamaan Parabola
|
Persamaan Garis inggung
|
1
|
Y² =
4px
|
|
2
|
Y² = - 4px
|
|
3
|
X² =
4py
|
Y = mx
- pm²
|
4
|
X² = - 4py
|
Y = mx + pm²
|
Parabola dengan
Puncak (a,b)
No
|
Persamaan Parabola
|
Persamaan Garis Singgung
|
1
|
( y –
b )² = 4p (x – a )
|
|
2
|
( y – b )² =
- 4p (x – a )
|
|
3
|
( x –
a)² = 4p (y – b )
|
( y –
b) m ( x – a ) - pm²
|
4
|
( x – a)² =
- 4p (y – b )
|
( y – b) m (
x – a ) + pm²
|
Persmaan garis singgung
melalui titik ( X1, Y1 ) ) yang berpuncak (0,0)
No
|
Persamaan parabola
|
Persamaan garis singgung
|
1
|
y2 = 4px
|
y1 y =2p (x + x1)
|
2
|
y2 =
- 4px
|
y1 y =
- 2p (x + x1)
|
3
|
x2 = 4py
|
x1 x = 2p (y + y1 )
|
4
|
x2 = - 4py
|
x1 x = - 2p (y + y1 )
|
Persamaan garis singgung di titik (x1, y1)
yang berpuncak di (a,b)
No
|
Persamaan parabola
|
Persamaan garis singgung
|
1
|
(y
– b)2 = 4p( x – a)
|
(y –
b) (y1 – b) = 2p (x +x1 - 2a)
|
2
|
(y – b)2 =
- 4p( x – a)
|
(y – b) (y1 –
b) = - 2p (x +x1 - 2a)
|
3
|
(x
– a)2 = 4p(y – b)
|
(x –
a)(x1 – a) = 2p ( y + y1 -2b)
|
4
|
(x – a)2 =
- 4p(y – b)
|
(x – a)(x1 –
a) = - 2p ( y + y1 -2b)
|
3.2. Saran
Kami sadar banyaknya kesalahan dalam makalah ini . maka dari itu kami sangat menerima kritik dan saran dari pembaca agar nantinya kami dapat memperbaiki makalah kami selanjutnya.
Kami sadar banyaknya kesalahan dalam makalah ini . maka dari itu kami sangat menerima kritik dan saran dari pembaca agar nantinya kami dapat memperbaiki makalah kami selanjutnya.
DAFTAR PUSTAKA
Http://yos3prens.wordpress.com/2014/05/27/5-soal-dan-pembahasan-penerapan-parabola
izin copy
BalasHapus